最速降线曲线

最速降线（Brachistochrone）

最速降线是指在重力作用下，从点 A 到点 B 物体运动时间最短的曲线。

运动时间公式：

$T = \int_{x_A}^{x_B} \frac{\sqrt{1 + [y'(x)]^2}}{\sqrt{2g(y_A - y(x))}} \, dx$

泛函与欧拉-拉格朗日方程

泛函定义：

$I[y] = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') \, dx$

对泛函进行微扰：

$Y = y + \epsilon \delta(x), \quad \delta(x_1) = \delta(x_2) = 0$

$I[y + \epsilon \delta(x)] = \int_{x_1}^{x_2} f(x, Y, Y') \, dx$

取极值的必要条件：

$\left. \frac{d}{d\epsilon} I[y+\epsilon \delta(x)] \right|_{\epsilon=0} = 0$

$\frac{dF(\epsilon)}{d\epsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial Y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial Y'} \right) \right] \delta(x) \, dx = 0$

对任意 $\delta(x)$ ，得到欧拉-拉格朗日方程：

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0$

贝尔特拉米积分（Beltrami Identity）

如果 $F(y, y')$ 不显含 $x$ ，满足欧拉-拉格朗日方程：

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = \frac{\partial F}{\partial y}$

定义：

$E = F - y' \frac{\partial F}{\partial y'}$

得：

$F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C$

最速降线求解

泛函：

$L(y, y') = \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2g(y_A - y)}}$

由于不显含 $x$ ，使用贝尔特拉米积分：

$\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{2g(y_A - y)} \sqrt{1 + y'^2}}$

解得：

$1 + y'^2 = \frac{1}{2gC^2 (y_A - y)}$

令 $y = y_A - u$ ：

$\sqrt{\frac{u}{\frac{1}{2gC^2} - u}} \, du = dx$

令 $v = 2gC^2 u$ ：

$dx = \frac{1}{2gC^2} \sqrt{\frac{v}{1 - v}} \, dv$

令 $v = \sin^2 \theta$ 并积分：

$x = \frac{1}{2gC^2} \int 2 \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2gC^2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + D$

$y = y_A - \frac{\sin^2 \theta}{2gC^2}$

最终可写成摆线方程：

$x = a (\theta - \sin \theta) + x_A$

$y = -a (1 - \cos \theta) + y_A$

$a = \frac{1}{4 g C^2}$

其中 $a$ 为滚动圆半径^a。

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最速降线求解

参考